{"id":6823,"date":"2009-07-11T05:02:31","date_gmt":"2009-07-11T04:02:31","guid":{"rendered":"http:\/\/redatea.net\/index.php\/al-monte-se-va-con-botas-la-paradoja-del-examen-sorpresa\/"},"modified":"2009-07-11T05:02:31","modified_gmt":"2009-07-11T04:02:31","slug":"al-monte-se-va-con-botas-la-paradoja-del-examen-sorpresa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/al-monte-se-va-con-botas-la-paradoja-del-examen-sorpresa\/","title":{"rendered":"Al monte se va con botas: La paradoja del examen sorpresa."},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a><\/p>\n

Una profesora anuncia un examen sorpresa para la semana siguiente. Los alumnos razonan de la siguiente manera. El viernes no podr\u00c3\u00a1 ser, puesto que si llega el viernes sin haber tenido examen, sabremos que ser\u00c3\u00a1 ese d\u00c3\u00ada. El jueves tampoco podr\u00c3\u00a1 ser, puesto que hemos descartado el viernes, as\u00c3\u00ad que si llega el jueves, tampoco ser\u00c3\u00a1 sorpresa. Por inducci\u00c3\u00b3n, no podr\u00c3\u00a1 ser ning\u00c3\u00ban d\u00c3\u00ada de la semana. Los alumnos deducen que la profesora no podr\u00c3\u00a1 poner ning\u00c3\u00ban examen sorpresa.<\/p>\n

Para asombro de todos, llega el mi\u00c3\u00a9rcoles y la profesora pone el examen.<\/p>\n<\/p>\n

La paradoja est\u00c3\u00a1 resuelta desde hace muchos a\u00c3\u00b1os. Se trata de mostrar que el enunciado de la profesora consta de varias proposiciones incompatibles entre s\u00c3\u00ad. Lo vemos mejor si la semana solo tuviera dos d\u00c3\u00adas. As\u00c3\u00ad, la profesora est\u00c3\u00a1 diciendo:<\/p>\n<\/p>\n

    \n
  1. Si el examen es el d\u00c3\u00ada 1, la v\u00c3\u00adspera (o ese d\u00c3\u00ada antes de clase) de ese d\u00c3\u00ada los estudiantes no sabr\u00c3\u00a1n que el examen es el d\u00c3\u00ada 1.<\/li>\n
  2. Si el examen es el d\u00c3\u00ada 2, la v\u00c3\u00adspera de ese d\u00c3\u00ada los estudiantes no sabr\u00c3\u00a1n que el examen es el d\u00c3\u00ada 2 y sabr\u00c3\u00a1n que no ha sido el d\u00c3\u00ada 1.<\/li>\n
  3. El examen ser\u00c3\u00a1 alguno de esos dos d\u00c3\u00adas.<\/li>\n<\/ol>\n

    Es posible, usando las reglas de la l\u00c3\u00b3gica proposicional, mostrar que las tres afirmaciones no pueden ser ciertas a la vez (no lo voy a hacer). Hasta aqu\u00c3\u00ad no hay problema, todos los l\u00c3\u00b3gicos est\u00c3\u00a1n de acuerdo. Lo que ha creado una larga confusi\u00c3\u00b3n es que, a pesar de que la profesora ha dicho algo falso, resulta que consigue su objetivo de dar un examen sorpresa.<\/p>\n<\/p>\n

    Llegados a este punto, la discusi\u00c3\u00b3n ha dado lugar a decenas de art\u00c3\u00adculos en revistas serias. Casi todos van al monte sin botas. Hay autores que se inventan ramas de la l\u00c3\u00b3gica s\u00c3\u00b3lo para intentar abordar la cuesti\u00c3\u00b3n.<\/p>\n<\/p>\n

    Borwein<\/a> y compa\u00c3\u00b1\u00c3\u00ada miden el grado de sorpresa con una definici\u00c3\u00b3n de entrop\u00c3\u00ada y buscan as\u00c3\u00ad una estrategia para la profesora que maximice la tal entrop\u00c3\u00ada.<\/i><\/p>\n

    Seg\u00c3\u00ban Shaw<\/a>, la profesora hace unas afirmaciones autorreferenciales de tal manera que nada bueno se puede deducir de ellas.<\/i><\/p>\n

    Olin<\/a> y Sorensen<\/a> se ponen a definir \u00e2\u20ac\u0153puntos ciegos\u00e2\u20ac\u009d epistemol\u00c3\u00b3gicos y no s\u00c3\u00a9 qu\u00c3\u00a9 diantre hacen con ellos.<\/i><\/p>\n

    Otros se ponen a decir cosas como que saber una preposici\u00c3\u00b3n un d\u00c3\u00ada no es lo mismo que saberla otro d\u00c3\u00ada.<\/i><\/p>\n

    Sober<\/a>, que propone una buena manera de abordar el problema, sin embargo se pone a decir que hay que distinguir entre predicciones prudenciales y evidenciales para concluir no s\u00c3\u00a9 tampoco muy bien qu\u00c3\u00a9 cosa.<\/i><\/p>\n<\/p>\n

    En realidad, la cosa es m\u00c3\u00a1s sencilla. Pensemos en una semana de dos d\u00c3\u00adas. Cada d\u00c3\u00ada la profesora decide si poner o no un examen, y cada d\u00c3\u00ada los alumnos apuntan un S\u00c3\u008d o un NO en un sobre. Si hay examen y apuntaron S\u00c3\u008d, o si no hay examen y apuntaron NO, no hay sorpresa. En caso contrario s\u00c3\u00ad la habr\u00c3\u00a1. Pongamos que la sorpresa le reporta un beneficio (felicidad, utilidad, como quiera llamarse) de 1 a la profesora y de -1 a los alumnos. La no sorpresa cambia el beneficio de cada uno. Los pagos son arbitrarios y podemos cambiarlos si se quiere.<\/p>\n<\/p>\n

    Si no ha habido examen el d\u00c3\u00ada 1, el d\u00c3\u00ada 2 se enfrentar\u00c3\u00a1n al siguiente juego<\/p>\n<\/p>\n\n\n\n\n\n
    \n

    D\u00c3\u00ada 2<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    S\u00c3\u008d<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    NO<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

    \n

    Examen<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    -1,1<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    1,-1<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

    \n

    No examen<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    1,-1<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    -1,1<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

    La \u00c3\u00banica manera de elegir consistentemente en este juego es echar a cara o cruz entre poner examen o no por parte de la profesora y escribir S\u00c3\u008d o NO por parte de los alumnos. El beneficio esperado para cada uno ser\u00c3\u00a1 cero.<\/p>\n<\/p>\n

    Sabido esto, el d\u00c3\u00ada 1 el juego es parecido. Ambos tienen que elegir como antes, pero aqu\u00c3\u00ad surge un problema. Si la profesora elige no poner examen y los alumnos eligieron S\u00c3\u008d, \u00c2\u00bfseguimos con el juego? Si es as\u00c3\u00ad, esto querr\u00c3\u00ada decir que los alumnos pueden anticipar el examen cada d\u00c3\u00ada, de manera que alguno acertar\u00c3\u00a1n. Una cosa sensata es decir que, en ese caso, perdieron su oportunidad y el juego se acaba. Otra es decir que esto les impide decir S\u00c3\u008d en el futuro, de manera que el juego del d\u00c3\u00ada dos tras (No examen, S\u00c3\u008d) habr\u00c3\u00ada sido trivial, con la profesora poniendo el examen los alumnos sorprendidos. Voy a seguir el primer caso, que deja as\u00c3\u00ad el primer d\u00c3\u00ada:<\/p>\n\n\n\n\n\n
    \n

    D\u00c3\u00ada 1<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    S\u00c3\u008d<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    NO<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

    \n

    Examen<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    -1,1<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    1,-1<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

    \n

    No examen<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    1,-1<\/p>\n<\/td>\n

    		\n

    0,0<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

    En la casilla (No examen, No) hemos puesto ceros, que son los pagos que se esperan obtener el d\u00c3\u00ada siguiente. La casilla (No examen, NO) la podemos interpretar como que el juego se acaba o como que, a\u00c3\u00ban siguiendo, los beneficios son (1,-1) no importa lo que pase el segundo d\u00c3\u00ada, porque ya se erraron los alumnos en su elecci\u00c3\u00b3n. La \u00c3\u00banica manera consistente de decidir ahora es, para la profesora, elegir poner examen con probabilidad 2\/3 y, para los alumnos, elegir S\u00c3\u008d con probabilidad 1\/3. (Otras posibles variantes las tengo publicadas con Jes\u00c3\u00bas Zamora<\/a> aqu\u00c3\u00ad<\/a>. Se puede leer tambi\u00c3\u00a9n aqu\u00c3\u00ad<\/a>.) En el an\u00c3\u00a1lisis vemos claramente los dos hechos fundamentales de la paradoja:<\/p>\n<\/p>\n

    No es posible poner un examen y que sea sorpresa. Pero esto es porque no es posible que ocurra con probabilidad uno. Vemos que, en nuestro an\u00c3\u00a1lisis, hay una probabilidad 1\/3 x 1\/2 = 1\/6 de que no hay examen, y una probabilidad positiva de que, habi\u00c3\u00a9ndolo, no sea sorpresa. Pod\u00c3\u00adamos haber insistido en que deb\u00c3\u00ada haber examen, s\u00c3\u00b3lo habr\u00c3\u00ada que alterar el juego del d\u00c3\u00ada 2 y tendr\u00c3\u00adamos la misma conclusi\u00c3\u00b3n acerca de que el examen no puede se sorpresa con probabilidad 1.<\/p>\n<\/p>\n

    \u00c2\u00a1Pero la profesora consigue poner un examen sorpresa! Esto es porque nos cuentan s\u00c3\u00b3lo uno de los posibles finales de la historia, cuando los dados cayeron de manera que la profesora pone el examen y los alumnos no lo adivinaron. Lo que he expuesto aqu\u00c3\u00ad dice que eso s\u00c3\u00b3lo puede pasar con alguna probabilidad si, al lado, est\u00c3\u00a1 la probabilidad de que no pase.<\/p>\n

    Lo que ha pasado es que ni alumnos ni profesora pueden razonar al margen de lo que crean que va a hacer el otro, ni al margen de c\u00c3\u00b3mo valoren acertar o no, y esto nos coloca en el mundo de la Teor\u00c3\u00ada de los Juegos, puesto que la l\u00c3\u00b3gica proposicional no podr\u00c3\u00a1 dar cuenta de la interacci\u00c3\u00b3n entre las acciones y creencias de los dos jugadores. No estaban hechas esas botas para este monte.<\/p>\n

    <\/p>\n

    <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Una profesora anuncia un examen sorpresa para la semana siguiente. Los alumnos razonan de la siguiente manera. El viernes no podr\u00c3\u00a1 ser, puesto que si llega el viernes sin haber tenido examen, sabremos que ser\u00c3\u00a1 ese d\u00c3\u00ada. El jueves tampoco podr\u00c3\u00a1 ser, puesto que hemos descartado el viernes, as\u00c3\u00ad que si llega el jueves, tampoco […]<\/p>\n","protected":false},"author":159,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-6823","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-blogs-colaboradores"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6823","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/159"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6823"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6823\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6823"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6823"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.redatea.net\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6823"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}