Red de Blogs Ateos

Un interludio de mucha utilidad

Convendrá aclarar algunas cosas si hemos de hablar de incertidumbre. Sin saber lo que harán los demás jugadores y sin saber lo que nos depara el futuro en el juego, incertidumbre es lo que nos espera. En el libro que presentó la Teoría de los Juegos en sociedad, sus autores, conscientes de ello, desarrollaron la Teoría de la Utilidad Esperada. Entendiendo que no era más que un instrumento para su Teoría de los Juegos, no le dieron gran importancia, relegándola a casi una nota a pie de página. Sin embargo, esta teoría es una de las más bellas y útiles construcciones pensadas por la mente humana.

Todo empezó con el concepto de utilidad como una medida de la felicidad de los seres humanos. Los orígenes de este concepto están en los utilitaristas como Bentham y Stuart Mill. Recordemos que estamos en la época en que la ciencia empezaba a medirlo todo, desde la presión atmosférica hasta la cantidad de calor. Así que, ¿por qué no la felicidad?

Proponiendo el “útil” como la unidad de medida tenía sentido hablar, no sólo de que una persona tiene más utilidad en una situación que en otra, sino que está “el doble” de feliz o que está más feliz que otra, o que una sociedad es más feliz que otra. No hay más que sumar útiles.

Pero estos son los orígenes. El concepto de utilidad de hoy día nada tiene que ver con esa idea. La recordamos aquí por su interés histórico y para que no se confundan las cosas. La Teoría Moderna de la Utilidad dice lo siguiente:

Las preferencias de los individuos están definidas sobre lo que se llama cestas de consumo. Por ejemplo, la señora A prefiere la cesta que contiene un coche de la marca B, dos kilos de naranjas y acudir a un concierto del cantante C antes que la contiene dos motos, una raya de coca y una noche en la ópera. Se trata, aclaremos, de preferencias sobre el consumo directo. Si la cesta segunda tiene más valor en el mercado, la querrá sobre la otra, pues la puede vender y comprar la primera, que le gusta más, y quedarse con un dinerillo extra. Pero no es de esto de lo que hablamos. Hablamos de qué prefieres para comer, no para vender.

Ocurre que las preferencias son, matemáticamente, una relación binaria, como “ser hermano de” o “ser más alto que”. La relación es “ser más preferido que”. Si recordamos las matemáticas del Instituto, recordaremos que las relaciones binarias podían tener o no algunas propiedades (¿nos acordamos de aquellas famosas: reflexiva, simétrica y transitiva?). Pues bien, diremos que las preferencias son racionales si son completas y transitivas:

• Completas: Entre dos cestas de bienes, sabemos cuál preferimos (o si estamos indiferentes).
• Transitivas: Si prefiero A a B y B a C, entonces prefiero A a C.

Lo interesante del asunto es que es matemáticamente equivalente hablar de preferencias racionales que de una función de utilidad. Esta función da un valor más alto a las cestas de bienes más preferidas. Nada más, pues no hay tal cosa como ser el doble de útil, o que una persona tenga más utilidad que otra. Nada menos, pues permite pasar del lenguaje de las relaciones binarias (¿quién se acuerda?) al lenguaje de las funciones, que dan mucho más juego en matemáticas.

No acaba aquí la cosa, puesto que nos falta meter la incertidumbre, y esto es lo que hicieron von Neumann y Morgenstern. Los objetos sobre los que se tienen preferencias no serán cestas de bienes, sino loterías sobre cestas de bienes. Me explico: una lotería sobre varias cestas de bienes significa echar a suertes cuál de las cestas tendré. Una situación de incertidumbre es precisamente eso, no saber cuál será tu situación con precisión. Con cierta probabilidad tengo mi casa y mi coche, con cierta otra se me quema la casa, con otra me roban el coche, con otra ambas cosas,… Una vez especificadas y listadas las posibles cestas de bienes, basta con especificar la probabilidad de cada una.

Las preferencias en situaciones de incertidumbre serán relaciones binarias entre loterías, y podremos pedir también que sean racionales. Pero como las probabilidades son un objeto matemático con cierta estructura (cada probabilidad está entre cero y uno y la suma de todas debe ser uno), seguramente podamos pedir más estructura (más propiedades) a las preferencias sobre loterías. Pediremos que satisfagan la propiedad de:

• Independencia: Las preferencias entre dos loterías solo dependen de las cosas que no son comunes a ambas. Por ejemplo, si ambas ofrecen un mismo premio con probabilidad 1/3, pero con probabilidad 2/3 una lotería ofrece A y la otra ofrece B. Todo dependerá de las preferencias entre A a B para elegir una lotería u otra.

Pues bien, sucede que, con esta nueva propiedad, tener preferencias en situaciones de incertidumbre es matemáticamente equivalente a tener una función de utilidad esperada que calcula las utilidades de las loterías como la media de las utilidades de los premios. Sencillo y elegante. Y sumamente apropiado para analizar juegos.

Además de este tipo de preferencias pediremos que los individuos, para acabar de ser racionales del todo, busquen alcanzar el valor más alto en sus funciones de utilidad. Fijémonos que no hemos sido especialmente puntillosos sobre el objeto del deseo. Puede ser dinero, coches, comida, hijos, compañía, igualdad social o un poco de todo. Cualquiera de estas cosas es permisible meter en las preferencias.

Pocas teorías tienen un nacimiento tan preciso como la Teoría de los Juegos. Como dijimos en la entrada anterior, nace con la publicación del libro de John von Neumann y Oskar Morgenstern “The Theory of Games and Economic Behavior” en 1944. John von Neumann es el matemático que nos hemos encontrado más veces en este blog. Fue uno de los cuatro grandes del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (con Gödel, Einstein y Oppenheimer). Además de ser el padre de la Teoría de los Juegos y de participar en muchos de los avances de las matemáticas y la lógica del siglo 20, es el padre de la Informática, dio la formulación matricial de la Mecánica Cuántica, ayudó a diseñar las bombas atómica de hidrógeno, imaginó las máquinas autorreplicantes, participó en la RAND Corporation para asesorar sobre la estrategia que debían seguir los EEUU en la guerra fría, y muchas cosas más. Oscar Morgenstern es un economista brillante de la época, al que no se le recuerda por mucho más.

El libro trata de dos tipos de juegos. Uno, los juegos no cooperativos, pero ciñéndose solo a los de suma cero y, el otro, los juegos cooperativos. En los juegos no cooperativos cada jugador hace básicamente lo que le da la gana. No hay nadie a quien rendir cuentas, no hay comunicación entre los jugadores y no se puede firmar ningún tipo de acuerdo con los demás. Cada uno elige independientemente de los otros.

En los juegos cooperativos sucede lo contrario. Los jugadores llegan a acuerdos y estos se respetan. Bueno, esta es la interpretación. En la práctica, en la Teoría de los Juegos cooperativa se proponen soluciones “razonables” a las que podrían adscribirse los jugadores a la hora de repartirse un excedente. Lo que se considera razonable depende de cómo se entiende el poder de cada individuo y de cada posible coalición en la que pueda participar. La entrada sobre la Razón Moral en Bancarrota es sólo un ejemplo de este tipo de juegos. Hay muchísimos más y, en cada uno de ellos hay muchas propuestas de solución interesantes, razonables y, la mayoría de las veces, incompatibles entre sí. (Para desesperación de los racionalistas morales, por seguir metiendo el dedo en la llaga.)

Los juegos de suma cero son aquellos, como el póquer, el ajedrez o el parchís, en los que lo que uno gana es a costa de los demás. La suma de las ganancias es cero. Otro tipo de juego de suma cero puede ser la política de las superpotencias. Si se añade un país al área de influencia de una se elimina del área de influencia de la otra. Este ejemplo se puede llevar al extremo de la guerra. El territorio conquistado al enemigo es ganancia propia.

Los juegos de suma cero son los que presentan un mayor conflicto. No hay cooperación posible. Lo que no ganas, lo gana el oponente. Lo que gana el oponente, lo pierde uno. Hay que salir a ganar y hay que atacar el primero, y con más fuerza.

Habiendo analizado los juegos de suma cero y habiendo sido uno de los científicos más importantes en el Manhattan Project, von Neumann estaba convencido de que la Guerra Fría era un juego de suma cero en el que había que hacer precisamente eso, atacar primero, antes de que la Unión Soviética desarrollara su arsenal atómico. No sabemos qué hubiera pasado de haberse seguido su consejo. En su defensa hay que señalar que luego desarrolló el concepto de Destrucción Mutua Asegurada.

En cualquier caso, la guerra no suele ser un juego de suma cero (puede haber grandes pérdidas para ambas partes) y la Unión Soviética consiguió su bomba atómica no mucho después que los estadounidenses. Interpretar la Guerra Fría como un juego distinto de los juegos de suma cero puede tener consecuencias muy distintas que interpretarla como un juego de suma cero. Lo malo es que, con el libro de von Neuman y Morgenstern en la mano no sabemos cómo analizarlos.

Para ello necesitamos a Nash, el de la mente maravillosa, con su equilibrio. Pero queda una pequeña sorpresa que ver antes. En la entrada siguiente.

Los precedentes

La Teoría de los Juegos se ocupa de analizar las situaciones de cooperación y conflicto. El juego es el modelo matemático con el que se abarca una situación tal. Otra manera de definirla, muy breve, es con la expresión “decisión estratégica”. A pesar de ser, en principio, una posible rama de las matemáticas y de la lógica, fueron las aplicaciones económicas las que se encargaron de su desarrollo al darle más vida. Con todo, también la Sociología, las Ciencias Políticas, la Biología e incluso las Ciencias de la Computación las usan como instrumento. El Derecho podría, pero hasta ahora son muy pocos los que se atreven, y son vistos como rarezas por sus colegas.

La Teoría de los Juegos nace con el libro de John von Neumann y Oskar Morgensten, titulado “The Theory of Games and Economic Behavior”, en 1944, pero para todo hay precedentes. En el caso de la Teoría de los Juegos tenemos los siguientes:

–Condorcet (1785): Estudió los sistemas de votaciones haciendo valer el comportamiento estratégico de los electores. Las paradojas de las votaciones, el voto útil y el absentismo son ejemplos de fenómenos asociados a los sistemas de votaciones que se entienden mejor con la Teoría de los Juegos.

–Cournot (1838): Su modelo de competencia oligopolística se formula y resuelve como lo que ahora se consideraría una aplicación particular de la Teoría de los Juegos. Este modelo es muy interesante por dos razones. Primero, porque permite una modelización del mercado oligopolista que tiene en sus extremos al monopolio y a la competencia perfecta. Estos extremos se analizan sin necesidad de juegos, haciendo uso de la maximización individual (monopolio) y del equilibrio competitivo, herramientas de la Teoría Económica que no permiten el análisis estratégico del oligopolio. Segundo, porque, aunque se han propuesto más modelos de oligopolio, acaban siendo muy a menudo versiones del de Cournot.

–Charles Darwin (1871): Su explicación evolutiva de por qué en la mayoría de los vertebrados los individuos se reparten entre los dos sexos al 50% es el precedente de la estrategia evolutivamente estable, un concepto de equilibrio, derivado del equilibrio de Nash (ya lo veremos en su momento) y apropiado para dinámicas evolutivas por contraposición a las racionales. Expuse este ejemplo en una entrada de la Historia Más Asombrosa Jamás Contada y a ella me remito para el lector curioso.

–Hotteling (1929): Podemos decir lo mismo que para Cournot, pero con un modelo de localización espacial de las empresas. Su versión más sencilla es ya muy ilustrativa: En una playa de un km. de longitud, dos propietarios de sendos carritos de helados deben decidir dónde colocarse para vender. El precio viene impuesto por quienes les suministran el producto, de manera que lo único que pueden hacer para vender más es colocarse en el mejor lugar. Si la playa está uniformemente llena de bañistas, lo óptimo sería que uno se colocara a ¼ de km. del comienzo y el otro a ¾ de km. Esta situación, sin embargo, no es un equilibrio. Cualquiera de ellos, si se acerca al otro, puede quitarle parte del mercado. Esto es cierto en cualquier disposición en que estén separados. Al final se colocarán ambos en el medio. Esto es ineficiente porque los bañistas necesitarán de media recorrer más distancia para comprar un helado y algunos optarán por no hacerlo. Pero, a no ser que estos bañistas que desisten sean muchos, esta es la única situación de equilibrio.

El modelo de Hotteling es claramente simplista y, sin embargo, empieza a decirnos algo de por qué muchas veces los competidores se juntan en lugar de dispersarse. El consumidor (y muchas veces también las empresas) querrían la dispersión, pero el equilibrio les manda. En sistemas bipartidistas (o casi), los partidos tienden a dirigirse al “votante medio”; cuando hay pocos canales de TV, tienden a dar los mismos tipos de programa a la mismas horas;…

Todos estos son ejemplos de formalización matemática de algún tipo de juego (sin llamarlos así). Abundan los ejemplos de juegos famosos resueltos con ingenio en la literatura y en la historia de la humanidad. Veremos algunos de ellos a lo largo de esta serie. Permanezcan atentos a sus pantallas.

Sin las interrogaciones, este ha sido y es un lema muy tarareado. Cuanto peor lo haga el gobernante de turno, más posibilidades de conseguir apoyos para cambiarlo por el que nos gusta más. Para que el argumento se sostenga, esto requiere que el cambio sea mejor alternativa que el estado actual, aunque no lo haga peor todavía.

¿Que el trabajador no está suficientemente explotado para hacer una revolución? Pues alegrémonos de que aumente la explotación, porque así la hará. Agudizar las contradicciones, se dice. ¿Que la iglesia católica apoya, en su emisora de radio, a un charlatán vociferante? Tanto mejor, así la gente se dará cuenta con más claridad de lo mala que es la iglesia. ¿Que el partido que no es nuestro favorito está liderado por un incompetente? Miel sobre hojuelas, más probabilidad de que gane el nuestro.

Personalmente prefiero justo lo contrario. Cuanto mejor, mejor. Prefiero que el partido que menos me atrae sea lo más sensato posible, que tenga buenos dirigentes y que, cuando ejerza el poder, lo haga bien. Prefiero unos obispos tolerantes y adaptados a los nuevos tiempos que unos recalcitrantes. Por mucho que esté en desacuerdo con sus ideas, con los primeros será más fácil convivir que con los segundos, aunque duren más.

Es sabido que la prensa española no es demasiado independiente. Algunos periódicos lo disimulan más que otros. Tengo amigos que piensan que la vinculación clara de un periódico es mejor que la sutil de otro porque, al parecer, de quien claramente defiende un partido o ideología puedes estar alerta, mientras que quien aparenta algo más de neutralidad te puede llevar sutilmente a su bando. No lo creo de ninguna manera. Me gustaría que todos los periódicos tuvieran la mayor pluralidad posible, aunque solo fuera para disimular, y que de vez en cuando se dedicaran a criticar a los suyos o alabar a los otros allá donde se lo merecen.

Por otra parte, no recuerdo haber leído en los libros de historia demasiados ejemplos en los que sólo se pudo mejorar después de haber ayudado a empeorar las cosas. Antes bien, veo que los mejores niveles de bienestar y convivencia se dan cuando nuestros enemigos, contrincantes, competidores,… van a mejor y no a peor.

La monarquía es un régimen ¿quién lo duda? que acabará extinguiéndose en el mundo. En los países europeos lo hubiera hecho hace años de haber mantenido la pretensión absolutista del pasado. Se adaptó a los nuevos tiempos y se ha hecho casi ornamental, es decir, más sensata (a mí me parece más sensata una monarquía de decorado que una absolutista). Tanto es así que no hay demasiadas diferencias de bienestar social entre las monarquías y repúblicas de la vieja Europa. Es cierto que pusieron a remojar las barbas cuando la Revolución Francesa, pero lo que digo es que no hubo necesidad de empeorar las cosas en Francia para hacer la revolución (estaban malas de por sí) y que Francia se hubiera ahorrado la revolución si la monarquía se hubiera adaptado a los tiempos. Hugo nos recordaba hace poco que no fueron los más desfavorecidos quienes la impulsaron.

Todo esto son deseos. Deseos míos de que los demás sean lo mejor posible. La realidad se empeñará en que no sea así las más de las veces, sólo que yo no me alegraré por ello.

Leo en El País la noticia de que India se niega a patentar dos medicamentos contra el SIDA. Esto implica que cualquiera puede copiar la fórmula, fabricarlo y venderlo a un precio reducido. Esta noticia es muy buena, de las mejores que he leído en los últimos tiempos. Espero que no se quede en agua de borrajas por las presiones de las multinacionales farmacéuticas a los estados que, no sé bien por qué, se empeñan en hacerles caso. Espero también que sea el comienzo de muchas otras rebeliones contra el absurdo sistema de patentes que ahoga la innovación y su difusión para beneficio de unos pocos. Con un poco de suerte, países emergentes y democráticos como India y Brasil podrán abrir una brecha en el sistema. Otros países como China también podrían ayudar a medida que se democraticen (si lo hacen).

Lo de la democracia me parece imprescindible para poder tener capacidad de liderazgo en el mundo, aunque China ya empieza a tenerla en países africanos más preocupados por salir de la pobreza que por la democracia (craso error, porque es mejor si ambos esfuerzos van de la mano).

El mal enfoque de la noticia al que me refiero se ve en que, el redactor, no para de soltar pullas: que si la India lo hace, no por humanitarismo, sino para beneficiar a sus empresas, que si las pobres farmacéuticas necesitan vender caro para recuperar su inversión y que los genéricos invadirán el primer mundo,… ¡Qué pena me dan las multinacionales farmacéuticas y qué malas son las fabricantes de genéricos!

Seguramente alguien pedirá argumentos acerca de por qué es malo el sistema de patentes actual. Me parece bien. Pero me parecería mejor si ese mismo alguien se preocupa sobre los argumentos para defender el sistema de patentes actual (o alguna versión parecida). Argumentos teóricos hay para todos los gustos:

• A favor: Sin patentes que garanticen el monopolio sobre lo patentado, no habrá manera de recuperar el coste de la inversión y no habrá inversión.

• En contra: Con patentes será difícil innovar sobre lo ya hecho, puesto que requiere pagar muchas licencias. La ventaja de ser el primero puede ser suficiente para obtener las rentas con las que compensar la inversión.

Así que para dilucidar entre un caso u otro, hay que ir a la empiria. La pregunta clave es ¿Cuándo y dónde se ha documentado que, tras pasar de un régimen sin patentes a uno con patentes, la innovación ha aumentado? La historia no registra casos de estos y sí de los contrarios. Recomiendo este libro y esta página web.

Para la industria farmacéutica, es ilustrativo que Suiza sea uno de los centros farmacéuticos del mundo justamente porque es el país que más tardó en reconocer derechos de patente sobre los medicamentos, de manera que a las empresas les convenía instalarse ahí para disfrutar de las ventajas de usar los conocimientos producidos por las demás empresas. Esto les compensaba por el inconveniente de que, a su vez, sus conocimientos fueran usados por las otras.

Hay otro tipo de argumentos que tienen que ver con la moralidad del asunto: copiar una idea es robar y, por tanto, es malo. Este argumento parte de una falacia, puesto que copiar una idea no es robar. Plagiarla puede serlo metafóricamente, pero no copiarla. Si yo reproduzco una fórmula química, no le quito ningún preparado a nadie. Si reproduzco una canción, no le privo de su copia a nadie. El problema de las leyes de patentes o de derechos de autor no es el problema de si reconocer o no la autoría intelectual (propiedad intelectual), sino si es conveniente o no reconocer un derecho de monopolio sobre las copias de la obra, no importa en manos de quien estén. Esto último es monopolio intelectual y es una losa permanente sobre la creación y la libertad.

Un tema recurrente en los blogs que sigo es el del origen de la moral. Hay opiniones para todos los gustos, pero se pueden agrupar en dos tipos. Según unos, la moral se puede (y se debe) deducir de la razón. Según otros, esto no es posible. Adelanto que me encuentro entre los segundos.

El argumento de los que creen poder deducir la moral de la razón dice, espero hacerles justicia, lo siguiente:

-La moral parte de unos postulados básicos, aceptados como un absoluto por los seres racionales e inteligentes, y de ellos se puede deducir el resto de proposiciones morales.

-De esta manera, la moral se parece más a la ciencia, que sigue el mismo procedimiento para construir sus modelos, que a los gustos o a las modas, que se basan únicamente en preferencias individuales, que pueden ser variopintas.

-El hecho de que no se haya deducido toda la moral no es un argumento en contra de esta postura, como tampoco lo es contra la ciencia el que no haya explicado toda la realidad.

-El hecho de que haya individuos que no acepten los preceptos morales no es distinto del hecho de que haya individuos que no acepten las conclusiones de la ciencia.

-La manera de conciliar el “ser” con el “deber ser” es aceptar la existencia de hechos morales definidos por los axiomas o deducidos por ellos.

Todo esto, así dicho, suena razonable y entiendo que mucha gente se apunte a esta línea de pensamiento. Sin embargo, yo todavía no he visto ningún sistema moral así desarrollado. Tal vez pedir un sistema entero es mucho. Newton desarrolló una mecánica con sus leyes, pero, antes que él, Galileo, sin desarrollar una mecánica completa, pudo avanzar mucho con sólo la ley de la inercia y la ley de composición de movimientos. Pero es que ni siquiera algo semejante existe entre los que proponen elaborar la moral según unos axiomas dictados por la razón. De hecho, ni siquiera existen unos primeros axiomas con los que empezar a decir nada.

Aclaremos esto último. Sí se han vertido aquí y allá algunos axiomas de este estilo. Kant, por ejemplo postuló aquello de “Obra según una máxima tal que puedas querer al mismo tiempo que se torne ley universal”. Otras máximas que uno ve son del estilo “El ser es bueno”, “Más ser es mejor”, “La vida es buena”, “La muerte es mala”, “El daño es malo”, “Evitar el daño es bueno”, “El incesto es malo”, “A los iguales les corresponden los mismos derechos” y otras cosas así. Cuando se cuestionan estas máximas (puesto que hay seres humanos a los que les parece bien la muerte de otros seres humanos) se suele, o bien corregir por “La vida propia es buena para cada ser”, “La muerte propia es mala para cada ser”, o bien calificar de psicópatas o errados a quienes no piensan así.

No voy a negar que muchas personas estemos de acuerdo en alguno de estos principios. Yo, por ejemplo, acepto la igualdad de derechos para todos los seres humanos (aunque los seres humanos no seamos iguales y a pesar de que no está claro lo que significa “mismos derechos” en algunas circunstancias) y la moralidad de preservar la vida de un ser humano (aunque no en cualquier circunstancia, como en algunos casos de eutanasia). No acepto las máximas sobre “el ser”, que no sé lo que significan, como tampoco creo que el imperativo categórico de Kant sea aceptable, puesto que los demás tal vez no tengan mis preferencias sobre lo que debe ser una ley universal. Pero lo que yo piense importa poco. Lo que de verdad importa es que ningún conjunto de estos axiomas ha servido para producir un solo artículo de un hipotético código civil y moral deducido lógicamente a partir de ellos. La razón se me hace doble y hasta triple.

La más importante es que estas máximas, como mucho, nos dicen algo acerca de unas cuantas cosas que considerar buenas o malas, pero no sirven para resolver ningún problema moral, puesto que todos, absolutamente todos los problemas morales son problemas en los que hay que elegir entre una situación y otra, donde en cada una hay involucradas una o más de las cosas que consideramos buenas o malas. La vida de un montañero atrapado en una cornisa casi inaccesible es un bien, como lo es la vida de sus amigos y compañeros que pueden ir a rescatarlo. Ningún sistema moral basado en axiomas como los antes referidos es capaz de dar una respuesta racional a cuánto riesgo es moralmente aceptable asumir para realizar el intento de salvar al montañero atrapado. La moralidad de aceptar un riesgo y no otro es cuestión de las propias preferencias o sentimientos morales, inasequibles a la deducción lógica, como lo son todas las cuestiones que he ido planteando en mis entradas sobre la razón moral.

La segunda razón es que tampoco nos pondremos de acuerdo sobre el conjunto de axiomas de partida. Por ejemplo, el axioma “el incesto es malo” yo no lo acepto. Hay muchos ejemplos de posibles incestos no reprochables moralmente por la mayoría de los mortales.

Cualquier intento de afinar más los axiomas para poder afrontar los problemas morales, inevitablemente serán equivalentes a la falacia de la “petición de principio” y a la de “suponer lo que se quiere demostrar”. De hecho, éstas, junto con el “non sequitur”, están omnipresentes en todas las racionalizaciones morales que he visto.

Finalmente, es perfectamente posible (es más, ocurre a menudo) que varios axiomas morales son contradictorios entre sí, de manera que habrá que elegir entre ellos. No existe un meta-axioma que nos permita hacer esta elección. También de esto he puesto ejemplos en las entradas de la razón moral.

El que la moral no se pueda deducir de la razón no impide usar la razón allá donde se pueda. Podemos usar todos los conocimientos de lógica y ciencia para intentar no contradecirnos con nuestras posturas morales. Por ejemplo, si aceptamos que todas las personas son iguales en derechos (axioma moral muy aceptado hoy en día, aunque lejos de ser universal) debemos aceptar (si no queremos contradecirnos) que los homosexuales, los zurdos, las mujeres, los altos,… son iguales en derechos. Otros razonamientos de este estilo también los he tratado.

El que podamos ponernos de acuerdo en muchas cosas se debe a una evolución biológica y cultural (sobre todo en los últimos tiempos) parecida. Esto incluye la aceptación como “razonables” de muchos preceptos, no su deducción lógica.

Hace unas semanas nos planteó Santiago en su blog La Máquina de Von Neumann la paradoja de Hempel, que dice lo siguiente. La proposición “todos los cuervos son negros” aumenta su verosimilitud a medida que encontramos cuervos y observamos que son negros.  La proposición “todo lo que no es negro es algo distinto de un cuervo” aumenta su verosimilitud si buscamos objetos no negros y observamos que no son cuervos. Como ambas son proposiciones lógicamente equivalentes, esta última manera de buscar objetos no negros sirve también para validar la primera proposición.

La paradoja estriba en que la segunda búsqueda se nos antoja bastante inútil y nos resistimos a creer que, efectivamente, sirva para validar la primera proposición. He aquí un ejemplo de las frases que abundan en esta postura (en esta ocasión digo el pecado, pero no el pecador).

El que encontremos una tiza blanca “apoya” (hempelianamente) tanto que todos los cuervos son negros como que todos los cuervos son verdes, o rojos, o blancos, o a topos o no existen los cuervos. Y como es irrelevante para ella, no cuenta para verificarla.

Para ver cómo para este monte hacen falta las botas de la probabilidad bayesiana y no la lógica proposicional, que parece estar detrás del argumento anterior, propongo el siguiente ejemplo-modelo:

1. Cojamos unas cartas en blanco (tamaño naipe), por ejemplo 20. Pongámoslas sobre una mesa y escribamos en cada una de ellas una de las siguientes palabras: cuervo, canario. Por ejemplo, sea cuervo en 5 y canario en 15.

2. Cojamos a un niño de ocho años y pidámosle que pinte cada carta (por el lado que no está escrito) de uno de los siguientes colores: negro, amarillo. Nos vamos para no ver lo que hace el niño. Le decimos que deje las cartas por el lado pintado. Al volver observamos que hay, por ejemplo, 8 cartas negras y 12 amarillas.

3. Para validar la hipótesis “todos los cuervos son negros” podemos ahora hacer varias cosas:

(a) Pedir al niño que deje las cartas del lado de los nombres, buscar cuervos y darles la vuelta para ver el color. Cada cuervo negro aumenta la probabilidad de que la proposición sea cierta. Por ejemplo, si pensamos que el niño pintó al azar los papeles. A priori pensaremos que la probabilidad es:

8/20 x 7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.0036

(La probabilidad de que cualquier carta sea negra es el número de cartas negras entre el total, 8 sobre 20; descartada la primera, quedan 7 cartas negras sobre 19,…).

Después de coger un cuervo y ver que es negro, la probabilidad pasa a ser

7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.009

b) Dejar las cartas del lado coloreado, buscar cartas amarillas y darles la vuelta para ver qué pájaro ocultan. Cada carta amarilla que tenga un canario detrás aumenta la probabilidad de que la proposición “todo lo no negro (amarillo) es un no cuervo (canario)” y, por tanto, la proposición “todo cuervo es negro”. Con la hipótesis de que el niño pintó al azar, a priori pensamos que la probabilidad de que la hipótesis “lo no negro es no cuervo” es:

15/20 x 14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0036

(Fijémonos que es igual a la de antes, no podía ser de otra manera).

Después de coger una carta amarilla y ver que es canario, la probabilidad pasa a ser:

14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0048.

La probabilidad ha aumentado, aunque menos que antes. Q.E.D.

Si teníamos otra teoría sobre cómo pintó el niño las cartas, cambiarán las probabilidades, pero tendremos el mismo proceso, siempre eliminando el primer factor y, por tanto, aumentando la probabilidad. Lo mismo si no sabemos exactamente cuánto hay de cada cosa: tendremos una hipótesis a priori y trabajaremos con ella.

El problema con las opiniones acerca de que la paradoja es falsa hacen hincapié en casos que no están recogidos en la paradoja. Así, si uno observa un canario amarillo o una tiza blanca y dice que esto es irrelevante para el color de los cuervos, está saliéndose de los términos de la paradoja. Si uno busca, por ejemplo, cosas amarillas y sabe que no hay cuervos amarillos (solo dudaba entre negros y blancos) está tan fuera de los términos de la paradoja como si observa cuervos que ya sabe que son negros. Ni lo uno ni lo otro alteran las probabilidades que ya teníamos aceptadas, fueran las que fueran. Esto se traduciría en que el primer factor en el cálculo de la probabilidad sería exactamente uno y la probabilidad no aumentaría al eliminarlo. Lo mismo en la prueba de la proposición directa como de la contrarrecíproca.

Otro error habitual es confundir este tipo de inferencias estadísticas con relaciones causales 

Los canarios amarillos no causan el color de los cuervos, por lo que encontrar el primero es irrelevante para saber el color del segundo.

Lo primero es cierto, lo segundo, como hemos visto, no. Si se buscaron cosas no negras aleatoriamente y sin información a priori acerca de que tales cosas no pudieran ser cuervos (es decir, se detectó una cosa amarilla y se observó luego que era un canario, como en el ejemplo de las cartas), entonces, el haber encontrado un canario amarillo disminuye (marginalmente) el conjunto de cosas no negras que puedan ser cuervos, por lo que aumenta (marginalmente) la probabilidad de que la proposición se cumpla.

Mañana parto para Los Ángeles a pasar un año sabático. La ciudad tiene casi cuatro millones de habitantes, que pasan de los 17 con su área metropolitana. Es la metrópolis más extensa del planeta. El área de Madrid y sus ciudades aledañas, con casi 6 millones, cabe varias decenas de veces en el área sobre la que se extiende el Gran Los Ángeles.

Los preparativos de esta estancia han sido la causa de que no hayamos hecho grandes viajes este verano y yo haya podido escribir por lo menos un par de entradas a la semana, alternando unos días en casa con otros en la playa.

Me voy con mi mujer y dos hijas. Nuestra casa estará cerca de Disneylandia, adonde tendré que llevar a las niñas sin demasiada dilación. Tenemos playa y montaña a corta distancia (para las dimensiones de la ciudad), y las estadísticas nos garantizan una temperatura agradable durante todo el año.

Personalmente hubiera preferido Chicago, mi ciudad favorita de los EEUU. Allí pasé cuatro años mientras hacía la tesis doctoral. Fueron cuatro años maravillosos. Pero mis chicas no querían pasar frío, así que busqué colegas en la soleada California, en cuyo sur nunca llueve, para que me acogieran este año.

No será un año de vacaciones, pese a lo que parece. Haré, entre otras cosas, unos cuantos experimentos económicos sobre diseños de mercados de futuros. Suena árido, pero es divertido y tiene Teoría de los Juegos a tope, que es lo mío. (Algún día haré una serie de entradas sobre esta lúdica teoría.) Eso sí, nada de dar clases ni de hacer tareas administrativas que me han ahogado en los últimos años y han hecho sufrir mi ritmo de publicaciones.

Desde aquí (Madrid) hemos conseguido casa a través de la Universidad adonde voy y hemos contratado telefonía fija y móvil, TV por cable e Internet. Supuestamente nos estará todo esperando a nuestra llegada. En la siguiente entrada contaré sobre la eficiencia americana según cómo nos haya ido.

Conozco bastante bien los EEUU. He vivido cuatro años en Chicago, uno en Filadelfia y otro en el Estado de Nueva York, además de visitas más breves y viajes por todo el país. En California he estado varias veces, pero estoy deseando volver a visitar los parques naturales: Yosemite, el de las Secuoyas gigantes, el Gran Cañón (en Arizona) y muchos otros. También habrá que visitar San Francisco, la costa de Oregón y la Baja California en México. Intentaré evitarlo, pero las chicas ya me dicen que hay que ir a Las Vegas y a ver quién es capaz de negarles algo a tres mujeres.

La siguiente entrada, desde el lejano Oeste. Saludos a todos

En una entrada anterior hablaba de cómo una mejora tecnológica puede no venir acompañada de una mejora de la calidad debida a la complicación de su uso. Paradojas modernas. A la luz de esa entrada y de esta otra sobre el consumismo es que escribo la de hoy.

Voy a considerar otros aspectos que inciden en la falta de calidad de buena parte de las cosas que consumimos. No solo hay comida basura, también tenemos música intrascendente, ropa que dura dos días, turismo de masas, educación mediocre, telebasura, aparatos de usar y tirar, literatura barata, películas de serie B, bienes de todo a 100, …

Propongo la siguiente explicación. Pongamos que tenemos un mundo (acaso pre-industrial) donde es posible tener un bien de calidad por 100 y uno de poca calidad por 30. En este mundo algunos optarán por uno u otro según sus gustos y su renta. Pongamos ahora que la cosa cambia (acaso haya una revolución industrial), de manera que es posible obtener el bien de calidad por 80 y el de poca calidad por 1. En este mundo, de nuevo, la gente optará por uno u otro según preferencias y renta, como antes.

Habrá, sin embargo, una diferencia crucial: el bien de poca calidad se ha hecho mucho más barato en comparación con el de calidad. Para unas preferencias razonables de los individuos, se demandará una proporción mucho mayor de bienes de poca calidad en relación a los que se demandaban antes del cambio en los precios (debidos a cambios en los costes de fabricación). En este mundo post-industrial habrá más de todo (de mucha y poca calidad), pero en proporción habrá más bienes basura, de poca calidad, de usar y tirar.

El mundo es, ni que decir tiene, mucho más complicado que lo esbozado anteriormente. Las mejoras tecnológicas no solo sirven para abaratar costes, sino para crear otro tipo de bienes, habrá también calidades intermedias,…, pero creo que este modelo súper simplificado nos puede dar una primera explicación de lo que está pasando.

En este modelo que he propuesto, no tiene por qué ocurrir que en todos los aspectos estemos rodeados de mediocridad. Algunas personas buscarán ropa de calidad, mientras otras vestirán con prendas que duran unas pocas semanas de uso. A otras les preocupará el buen yantar y se gastarán ahí sus cuartos, pero les importarán un pimiento oír música en condiciones, por ejemplo. Otras darán prioridad a la buena educación. Algunas personas melómanas oirán música bien grabada y en buenos equipos. Otras estarán satisfechas con oír música de cualquier manera, con auriculares y en el metro, o con los altavoces baratos de un ordenador. Habrá quien quiera amueblar y decorar su casa con muebles y objetos artísticos de calidad, otros se conformarán con muebles sencillitos y con souvenires made in China.

Cuando hablo de calidad no me refiero a comer en El Bulli ni tener un Picasso en la pared o vestir prendas pijas. Lo que digo vale perfectamente para una calidad aceptable. Cuando viajamos, por un par de cientos de euros suele ser posible comprar algún objeto de buena calidad de los artesanos locales o, con ese mismo dinero, comprar un montón de recuerdos baratos. En lo culinario, por un poco más de tiempo o dinero, es posible comer mejor (tanto cuando uno cocina como cuando come fuera), pero claro, es tan fácil poner una pizza en el horno o freírse unas croquetas congeladas…

Difícil nos lo pone el mundo moderno para tener calidad en todo. Requiere un poco de conocimiento y de disciplina poder abstenerse de la cantidad para mejorar la calidad y disfrutar con ella.

Sic transit gloria mundis.

Las interpretaciones y los abusos

Hay varias interpretaciones de la mecánica cuántica. Las dos más famosas son (i) el colapso de la función de onda y (ii) la existencia de múltiples universos.

La (i) es la interpretación de Copenhague y toma literalmente lo que se hace con las funciones de onda. En el modelo, cuando se mide una variable, deja de ser incierta. Esto se traduce a la realidad diciendo que la onda de una partícula colapsa al ser medida. Deja de ser una variable aleatoria para ser un valor.

La (ii) es su más conocida alternativa. Viene a decir que cada uno de los valores que puede tomar una media se toman en algún universo. O, lo que es lo mismo, cada vez que una función puede tomar varios valores, el universo en el que está actualmente la partícula se divide en tantos universos como valores son posibles.

Hoy por hoy, cualquiera de estas interpretaciones es pura especulación. No hay ninguna observación o experimento concebible que nos pueda valorar una u otra. Hay quien dice que, por esto, ambas interpretaciones son metafísica. Yo prefiero decir que son especulaciones y maneras de hacer más o menos intuitiva la mecánica cuántica.

Junto a este tipo de especulaciones inofensivas hay toda una moda de usar la mecánica cuántica para hacerle decir lo que no dice. Claro, como es tan incomprensible y contraintuitiva, queda muy bien para justificar otras cosas también contraintuitivas … y falsas.

Aquí van unos pequeños ejemplos de abusos de la mecánica cuántica:

1.- El observador influye en lo observado.

2.- La ausencia de determinismo en la mecánica cuántica permite el libre albedrío.

3.- La consciencia puede provocar el “colapso de la función de onda” para que tome el valor que quiera.

Expliquemos esto con detalle.

1.- El observador puede o no influir en lo observado cuando salimos del ámbito de la mecánica cuántica. Cuando estamos en el mundo macroscópico en el que vivimos, ninguna de las extrañezas cuánticas son observables, así que esta afirmación no puede entenderse más que como metáfora, no como aplicación ni consecuencia de la mecánica cuántica. Además, la mecánica cuántica tampoco dice exactamente eso. Dice que el futuro se va construyendo según van interactuando las partículas elementales y según unas reglas probabilísticas determinadas que contradicen la intuición de que los valores de las distintas cualidades de una partícula están predeterminados. El observador lo que hace es provocar interacciones.

2.- El determinismo de Newton y de Einstein dejaba al Universo sin lugar para el libre albedrío, que quedaba como una ilusión de los autómatas mecánicos que seríamos todos los seres vivos, ser humano incluido. El fundamento probabilístico de la mecánica cuántica es, para muchos, una posible vía de escape para que exista el libre albedrío. No sé bien por qué. El que las cosas sucedan con una regla probabilística no deja tampoco lugar al libre albedrío. Uno no puede elegir el número que mostrarán los dados cuánticos. No hay libertad de elección en la mecánica cuántica, por lo que seguimos donde estábamos con respecto a este problema.

3.- Esto es una versión fuerte del punto anterior. Si algunos pensaban que uno, en su cerebro, puede decidir uno u otro valor cuántico cuando toma decisiones, otros piensan que podemos ir más allá y fabricarnos la realidad a medida con el poder de la mente. Los magufos de la película What the bleep do we know? (¿Y tú qué sabes? en su versión española) caen en este y en todos los demás abusos de la mecánica cuántica para justificarse.

Estos abusos no son inofensivos. Con frecuencia hay detrás de ellos sistemas de autoayuda, de pretendida psicología,… que venden remedios que no tienen.

En mi perfil se puede ver, entre mi música favorita, al grupo The Incredible String Band. Sobre ellos se pueden decir muchas cosas:

-Sus canciones abarcan mutitud de estilos: Folk, desde luego, casi siempre con composiciones propias, pero también reggae, calipso, espirituales, himnos, música mediterránea, rusa, del medio y del lejano oriente, … blues, bluegrass, alguna incursión al jazz, al rock…

-Los instrumentos son todos los imaginables. Guitarras acústicas y eléctricas, pianos clásicos, eléctricos, hardiscopios y hasta órganos de iglesia, flautas y clarinetes, violines, trompetas, instrumentos exóticos orientales, incluido el sitar, percusiones todas. Cada canción usa unos pocos, pero en cada disco se cuentan por decenas los timbres sonoros distintos que se oyen.

-Las estructuras de las canciones son de todo tipo. La típica canción con estribillo, pero también las suites que van hilando varias melodías en la misma canción y las composiciones que duran toda una cara de un disco, y los juegos de voces, y los juegos instrumentales, cantos a cappella, coros,…. Una canción puede empezar con estilo oriental para pasar a una jiga celta, seguir en plan rock y acabar como un juego infantil. O puede comenzar metiéndote en el ambiente entre las olas del mar Egeo de la antigua Grecia para acabar con una apoteosis orquestal de película.

-Sus temas abarcan todos los imaginables: Canciones sobre una bailarina y un marinero, sobre una nube, sobre una caja de pinturas que tengo en la mente y con la que pinto tus colores, sobre un niño con demasiada imaginación, sobre una versión personal de la creación, sobre un malabarista que juega con las bolas de la sustancia, el espacio, el poder y el tiempo, sobre el tiempo, sobre las cosas que se ríen de uno cuando uno no las mira, sobre el emperador de China que calzaba zapatos de hierro y cuya hija bien podría ofrecerte agua, sobre el agua, sobre una ameba, sobre la muerte, sobre Ithkos, un mercader griego que deja en la orilla a su amada Hipolita, sobre el minotauro, sobre las brujas, sobre unos soldados que juegan a las cartas en el tren en medio de una adivinanza, sobre las imágenes en el espejo, sobre Jack Black Davy que vivía en el bosque y que consiguió llevarse a la espesura a su amada y cuyo padre los persiguió día y noche sin encontrarlos, a pesar de los gritos y risas de los dos amantes que se oían entre los árboles, sobre un árbol que tenía de niño, sobre un hombre ya mayor en el futuro que explica cómo fueron los años sesenta, antes de que Inglaterra se fuera a Paraguay, sobre la primera mujer que amé, sobre el sombrerero loco, sobre una oruga, sobre la evolución, sobre Adán y Eva, sobre el actor que deja el escenario con una rosa en la mano y se sienta en una butaca de la última fila, sobre mi padre, que era guardián de un faro, sobre un viejo bucanero que tenía tatuajes azules, que perdió a su amada a manos de un embaucador y que acabó siendo rey en la isla de los caníbales, sobre el explorador que necesita alguien que le releve en el timón y le ayude a navegar por las noches, sobre los que murieron a ambos lados de la violencia en Irlanda del Norte, …

-Toda su música está hecha con cuidado, con buen rollo y con buen humor. Incluso en una época en que estuvieron metidos en la cienciología se abstuvieron de llevar esos sus rollos personales a sus álbumes (algo que Chick Corea o Bob Dylan, por ejemplo, no supieron evitar).

-Si a un racionalista y positivista como el que suscribe hay algo que pueda hacerle creer en las buenas vibraciones, esta es la música de la Incredible.

-Grabaron catorce discos. Por libre, Mike Heron y Robin Williamson (el alma de la Incredible) tuvieron mucha vida fuera de la banda. En particular, Robin Williamson ha grabado recientemente unos discos con el exquisito sello ECM. De la primera época (con el sello Electra) recomiendo “The Hangman’s Beautiful Daughter”, “Wee Tam” y “The Big Huge”. De su segunda época (con el sello Island) recomiendo “Liquid Acrobat As Regards The Air”, “Earthspan” y “Hard Rope and Silken Twine”. Las dos épocas son bastante distintas entre sí. Sus seguidores suelen preferir la primera, más original. A mí me gustan las dos por igual. La segunda época tiene cosas muy bien elaboradas y están llenas de mil matices musicales. La primera suena más espontánea, atrevida e ingenua. Ambas son deliciosamente adictivas. Desde que empecé a oírlos hace treinta años no he pasado nunca mucho tiempo sin oír alguna de sus canciones.

El secreto mejor guardado de la naturaleza: Grupos y simetrías

El cubo de Rubik permite hacer giros en cada una de sus caras. Consideremos la cara que nos ponemos frente a los ojos. Se la puede hacer girar en el sentido de las agujas del reloj un cuarto, un medio, tres cuartos o una vuelta entera. Lo mismo se puede hacer en sentido contrario a las agujas del reloj. Lo mismo, también, con cualquier otra cara.

Estas operaciones tienen unas propiedades interesantes:

1. Cualquier secuencia de giros nos deja dentro del mundo de las posiciones del cubo de Rubik. (Ley de composición interna).
2. Existe un elemento neutro (no hacer ningún giro) que deja el cubo como estaba.
3. Para cada secuencia de giros, es posible encontrar una secuencia que deshaga esos giros, de manera que la secuencia con su inversa nos dé el mismo resultado que la operación neutra. (Elemento inverso).
4. Aplicar la secuencia A, después la B y, finalmente la C produce el mismo resultado que aplicar la secuencia A y después el resultado de haber aplicado B y C. Para que se entienda, si A=1/4 vuelta, B=1/2 vuelta, C=1/4 de vuelta (todas en el sentido de las agujas del reloj). El resultado de A+B+C es el mismo que el de A+D, donde D=1/4 vuelta en sentido contrario a las agujas del reloj. (Propiedad asociativa).

Estos elementos (giros) con esta operación (acumular giros después de otros) constituyen lo que, en matemáticas, se llama “un grupo”, precisamente por tener esas cuatro propiedades interesantes. Los grupos son importantes porque permiten descubrir propiedades en uno que se pueden trasladar a otros grupos con las mismas características (porque tengan, por ejemplo, el mismo número de elementos, o porque la operación asociada sea similar), porque permite descubrir nuevos elementos si se conocen algunos (por ejemplo, permite descubrir los elementos inversos) y porque puede ayudar a descubrir el resultado de algunas operaciones (aprovechando la propiedad 4, por ejemplo).

Un grupo importante lo constituyen los números enteros y la operación suma. Otro, la multiplicación de los elementos 1, -1, i, -i (i es la raíz cuadrada de -1). La división de números enteros no sirve para hacer un grupo, ya que 1/2 no es un número entero (la división de un número entero entre otro nos saca del mundo de los números enteros, no cumple la ley de composición interna). Hay muchos más, entre ellos, el que encontramos en la física de partículas.

Los elementos del grupo son las partículas elementales en sus distintos estados. La operación son las interacciones entre partículas que respetan las simetrías. Es decir, que las interacciones que no las respetan no existen. El meollo de la cuestión es, por tanto, entender qué es eso de las simetrías.

Ejemplos de simetrías:

–Traslación: las leyes de la física no cambian si las observamos desde un sistema inercial o desde otro. Por ejemplo, y como ya vimos en la parte 6 de La historia más grande jamás contada, la velocidad de la luz sigue siendo la misma.

–Paridad: las leyes de nuestro universo son las mismas que las que observaríamos en un universo reflejado en un espejo.

–Carga: la atracción entre dos cargas positivas es la misma que entre dos cargas negativas, así que si intercambiamos todas las cargas del universo, positivas y negativas (tendríamos, entonces, un universo de antimateria), el resultado sería un universo indistinguible del actual.

–Tiempo: en el nivel cuántico (no en el macroscópico) de una partícula elemental (o un átomo o molécula), si filmamos el comportamiento de las partículas y lo proyectamos hacia atrás, el universo sería también indistinguible.

-Las anteriores son las más importantes, pero hay unas cuantas más. Por ejemplo, si cambiamos de una manera adecuada los colores de los quarks, tendremos de nuevo un universo indistinguible del nuestro. Esta es la simetría gauge SU(3).

En los años 50 se descubrió que la paridad y la carga se violaban por los neutrinos y por las interacciones débiles, respectivamente. Lo que no se viola es la simetría conjunta de paridad y carga. Es decir, que si cambiamos las cargas y lo vemos todo a través del espejo, entonces sí se mantiene la simetría y el universo sería indistinguible del que conocemos.

Una interacción que ya hemos encontrado en esta historia más extraña jamás contada es la de un fotón que es absorbido por un electrón, que pasa a un estado mayor de energía. ¿Cómo hemos de interpretar esto? ¿Es una o dos entidades este nuevo electrón? ¿Existen los fotones?

En el grupo que forman los números enteros y la suma podemos interpretar el número dos como uno más uno y hablar del dos como de la representación de dos entes distintos. En cambio, si giramos una cara de un cubo de Rubik, ¿existen los giros como entidades ontológicas? ¿es un cuarto de giro en sentido de las agujas del reloj lo mismo que tres cuartos de giro en sentido contrario? ¿es un cubo de Rubik al que se le ha hecho un giro un ente o dos entes, el cubo original más el giro?

Como en el ejemplo del cubo de Rubik, las preguntas sobre las entidades del grupo de las partículas elementales no tienen demasiado sentido. Existe el modelo matemático en que describimos las interacciones y existen los resultados de las interacciones en el modelo. La realidad se explica, de momento, por este modelo. En la física macroscópica tenemos intuición para hablar de objetos y podemos ver que una ciudad es algo distinto de los modelos que usamos para manejarnos en ella (un mapa, por ejemplo). En el caso de la física de partículas, nuestra concepción de lo que sean los objetos de la realidad que obedecen a estos modelos no es distinta que la concepción que tenemos del modelo, puesto que, al carecer de sentidos para percibirlos, no tenemos ninguna intuición para abarcarlos en toda su extrañeza.

Leímos hace unos días en El País acerca de las burbujas de Betelgeuse, la gigante roja en el hombro izquierdo de Orión. Betelgeuse es una estrella increíble y está cerca de nosotros, a unos 640 años luz de distancia. Con a masa de casi 20 soles, ha “quemado” todo su hidrógeno a gran velocidad y ahora se encuentra en sus últimos días, convirtiendo el helio en elementos más pesados. Cuando le toque el turno al hierro ya no habrá más reacciones de fusión, la estrella no generará energía que impida que toda su materia se agrupe. Sin nada que detenga este colapso gravitatorio, el proceso librará en poco tiempo una cantidad ingente de energía que será la gran explosión que conocemos como supernova, el canto de cisne de las estrella masivas. Dejará detrás de sí una densísima estrella de neutrones o un, aún más denso, agujero negro, dependiendo de cómo de grande sea su núcleo (si es mayor que un sol y medio, tendremos un inquietante agujero negro en la vecindad del sistema solar).

En el Otto Neurath y en Frustración voluntaria ha salido a debate el concepto de causa. He dejado en ambos blogs unos comentarios. Voy a escribir aquí con un poco más de orden mis ideas al respecto.

Por causa entendemos muchas cosas. Aristóteles pone el ejemplo de una escultura: si se trata de una escultura del dios Zeus hecha de bronce por un escultor con la finalidad de embellecer la ciudad, la causa material es el bronce, la causa formal el ser el dios Zeus, la causa eficiente el escultor, y la causa final el motivo de su existencia: embellecer la ciudad.

En esta (como en cualquier otra) clasificación, podemos buscar ejemplos en los que no nos quedará claro de qué causa estamos hablando. ¿Hay causa del bronce? ¿Es esta también causa de la escultura? ¿Qué clase de causa formal puede ser el dios Zeus? ¿Una idea es una causa formal? ¿La idea de Zeus de quién? ¿del escultor? ¿del que la comisionó? ¿Por qué la causa eficiente es el escultor? ¿la madre del escultor no tiene parte de culpa? ¿y qué hay del que paga la estatua? ¿Sólo hay un motivo por el que exista la estatua? El pueblo la demanda y por eso se hace, el escultor quiere fama y por eso también se hace, el político quiere el favor de los ciudadanos y esa es otro motivo. Yo no tengo nada claro lo que es la causa, aunque tengo claro que me incluyo entre los que hablan de causas constantemente.

Por una parte buscamos causas para todo. Por otra parte sabemos que no podemos buscar eternamente la causa de la causa de la causa…

El siguiente planteamiento es el que considero correcto. Queremos deducir lógicamente las causas de las cosas, pero el concepto de causa no está formalmente definido. Un modelo formal consta de unos elementos primitivos, con los cuales se derivan los demás. Por ejemplo, en la mecánica de Newton, las tres leyes de la mecánica más la ley de gravitación permiten deducir todos lo movimientos de un sistema de masas dado si se conocen las condiciones iniciales (posición y velocidad). Así, todos los fenómenos del movimiento de este sistema están causados por los elementos primitivos. Un cambio en los primitivos inducirá unos cambios en los movimientos, así que la causa de estos cambios será el cambio en los primitivos.

Los modelos económicos incluyen entre los elementos primitivos las preferencias de los individuos y su capacidad de elegir entre sus variables de decisión. Cambios en las preferencias podrán ser definidas como causas eficientes, si se desea. Cambios en las acciones podrán ser definidas como causas finales, si también se desea.

Todo esto se puede definir en el modelo, en donde podemos controlar todas las variables y dar sentido a la noción de causa. En la realidad podremos interpretar la misma relación causal que en el modelo en la medida que el modelo se aplique a la realidad o, mejor dicho, a una parte de ella. Porque todos los modelos que tenemos se aplican a una parte de la realidad. El único que intenta aplicarse a toda la realidad es la física de partículas, que nos habla de todo lo que existe, las partículas elementales. Pero sigue siendo el modelo. De dónde salen las leyes del modelo, cuál es su causa, es algo que nos lleva a la regresión de siempre. En cada modelo, la respuesta nos lleva hasta sus primitivos. Buscar las causas de las leyes de un modelo nos lleva a otro modelo y, en él, a otros primitivos.

En los modelos, con elementos primitivos, podemos hablar de causas. En la realidad, si prescindimos de primitivos, no podremos hacerlo formalmente.

La única respuesta a la pregunta de por qué hay algo en lugar de nada (unas leyes y no otras) es: hay algo en lugar de nada. Es decir, el que haya algo es lo que hay.

Hay gente que, llegados a este punto dicen: ¡No! Como todo tiene una causa, este algo debe tenerla también, y eso es dios, ese sí que no tiene causa porque, fíjate bien mi gran argumento: defino a dios como aquello que no tiene causa, que se causa a sí mismo y que causa a todo lo que hay.

¿Así que, como todo tiene causa, para salir del atolladero postulo algo que no tiene causa? Jamás entenderé cómo nadie se deja convencer por esto.

Vemos que todo el mundo, todos mortales que buscamos causas a todo, al final reconocemos que hay algo a lo que no le podemos buscar causa. Esto va también por los que ven en la causa un algo ontológico (qué algo ontológico, no me preguntéis). El concepto de causa se contradice a sí mismo si se lleva al límite. Es decir, si se saca del límite de los modelos formales, de donde nunca debió salir si se quiere razonar lógicamente.

La función de onda

Pongamos que un cuerpo de un gramo se mueve a 10 metros por segundo hacia la derecha desde un punto cero. Al cabo de un segundo estará a 10 metros y al cabo de dos, a veinte. En general, al cabo de t segundos estará a 10 x t metros (escribamos 10t m). Una vez establecido el punto cero y la dirección en que se mueve el cuerpo, podemos dar cuenta de su velocidad y su posición a través de la siguiente manera de resumir la información:

Velocidad = 20 m/s

Posición = 20t m

Esta podría ser la función de onda (muy simplificada) del cuerpo que examinamos. Las cosas pueden ser más complicadas. Por ejemplo, la velocidad puede cambiar con el tiempo, primero es 20 m/s, luego se acelera a 40 m/s, luego se frena, y así sucesivamente. Puede ser que, tanto la velocidad como la posición, sean aleatorias. Por ejemplo, puede ser que la velocidad sea 10 m/s hacia la derecha, 20 m/s hacia la izquierda o 30 m/s hacia la derecha, con idénticas probabilidades. Esto no quiere decir que la velocidad sea una de esas tres (y no sepamos cuál) todo el rato. Quiere decir que, cada vez que medimos la velocidad, nos dará uno de esos tres valores. Si la medimos 100 veces, por ejemplo, podríamos encontrar que 32 veces es 10 m/s, 35 veces 20 m/s y 33 veces 20 m/s. ¿Y si medimos la posición? Tendríamos también una serie de valores que podríamos detectar, por ejemplo podríamos encontrar al cuerpo a 5, 10 ó 15 metros a la derecha o a 5 ó 10 metros hacia la izquierda.

En general, la función de onda de una partícula subatómica es algo todavía más complicado. Para empezar, no mide directamente nada, es sólo un artefacto matemático que contiene toda la información que se puede extraer acerca de la partícula cuando está en un determinado sistema o estado (un electrón en un orbital atómico, un fotón pasando por una ranura,…). A partir de esa ecuación se puede ir obteniendo una u otra información según unas determinadas reglas:

1. La información se obtiene en forma de probabilidad. Por ejemplo, podemos obtener la probabilidad de que la partícula esté en una región determinada del espacio, o que esté dentro de un rango determinado de velocidades. Para encontrar esta información, hay que trabajar con el cuadrado de la función de onda.

2. Si medimos una variable, la función de onda pasa a tener ese valor para esa variable, y ya no se comporta probabilísticamente para ella. Este es el famoso colapso de la función de onda, que da lugar a la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica.

3. Si queremos medir dos variables, la precisión con que midamos una de ellas es menor cuanto mayor sea la precisión con la que midamos la otra. Esta relación está determinada por una nueva ecuación, que es la que rige el principio de indeterminación de Heisenberg que vimos en la parte 7 de esta historia más extraña jamás contada. En nuestro ejemplo de arriba, quiere decir que, si medimos con precisión la velocidad (p.e., 10 m/s a la dcha.) entonces no sabremos nada de la posición. Si nos conformamos con saber si la velocidad es 20 m/s a la dcha. o 20 m/s a la izda. entonces podremos saber algo más de la posición (por ejemplo, que esté a 10 m a la dcha. o 5 a la izda.)

4. Si tenemos una partícula en dos estados posibles, se puede asociar una función de onda a cada estado, llámense F₁ y F₂. Si no hacemos ninguna medida para saber en cuál de los dos estados está la partícula, estará en el estado “superpuesto” que tiene asociada la función de onda correspondiente a la suma de las dos anteriores: F₁ + F₂. Esta es la famosa superposición cuántica que da origen a la paradoja del gato de Schrödinger. Esto tiene una consecuencias extrañas. Si queremos saber la probabilidad de que una variable (velocidad, posición,…) esté en determinado rango sin pretender saber el estado del sistema, deberemos usar (F₁ + F₂)² para nuestros cálculos. Sin embargo, si hacemos una medida para conocer el estado y luego queremos calcular la probabilidad de la misma variable que antes deberemos usar (F₁)²+ (F₂)², puesto que sabremos que está en el estado descrito por F₁ o en el descrito por F₂, y en cada caso usaremos el cuadrado de la ecuación para encontrar la probabilidad. Antes de saber en qué estado estará, asignamos la suma para tener en cuenta la incertidumbre antes de hacer la medida. Como todos recordaremos de nuestras matemáticas del álgebra elemental, (F₁ + F₂)² es distinto de (F₁)²+ (F₂)². Aplicado esto al experimento del electrón que puede pasar por dos ranuras, en el primer caso tendremos el comportamiento como onda y, en el segundo, el comportamiento como partícula.

Dejo los comentarios para otra entrada, que esta ha tenido lo suyo. He intentado contar las cosas como creo que me hubiera gustado que me las explicaran para tener una idea de las piezas lego-cuánticas.

Mi amiga Leticia (es mexicana y nos conocimos hace años en Chicago) me pide que publique unas reflexiones suyas sobre el consumismo.  Helas aquí:

Recientemente ha surgido una serie de críticas hacia el consumismo irreflexivo, y casi instintivo, por parte de los consumidores.  En efecto, este vocablo ha pasado de ser un término técnico de textos de economía para convertirse en el apelativo que unifica a los habitantes de este planeta y cuyo comportamiento determina las tendencias de crecimiento económico de un país. 

En las últimas décadas la economía mundial ha experimentado notables avances en eficiencia productiva, mismos que han llevado a una disminución de precios. Adicionalmente, un sinnúmero de productos se ha puesto al alcance de una gran parte de la población – aun en aquellas zonas remotas y distantes de las áreas de producción-.  Los bajos precios, en sí mismos, han estimulado un consumo desenfrenado a lo largo y ancho de nuestro planeta, por lo que no es extraño caer en la trampa de comprar un producto ¨porque está tirado de precio¨ – sin apelar a la necesidad que satisface o al placer que verdaderamente derivamos de su adquisición-.

En una economía, el objetivo final de la producción de bienes y servicios es el consumo.  Entre más se ‘aprovechan’ los recursos disponibles más se produce, más se aprende y se innova, y conduce a ¨aumentos¨ en la productividad; crece el empleo, los salarios, el consumo, y el nivel de vida (en el corto plazo) se eleva.  El ciclo se repite y agranda una y otra vez.  Esto es en esencia lo que ha permitido el “enriquecimiento¨ de las naciones. 

Las críticas al consumismo han surgido por sus consecuencias económicas, sociológicas y psicológicas. Tanto ambientalistas como promotores de competencia justa y de derechos humanos insisten sobre la “irrealidad” de los precios que pagamos por muchos productos.  Aducen que estos precios no incorporan los verdaderos costos de transformar los recursos naturales en productos finales. Por otro lado, enfatizan que el modo de apropiación de la materia prima, en múltiples instancias, ha llevado a la sobreexplotación, deterioro y futura escasez de los recursos naturales, provocando la alteración de ecosistemas y condiciones medio ambientales.  También se insiste en las injustas prácticas de contratación y condiciones de trabajo; así como en los ínfimos niveles salariales y la evasión regulatoria.  Hay gran parte de realidad en estas alegaciones, y son más o menos verdaderas dependiendo del tipo de industria o región a que nos refiramos.

Aparte de censurar ciertas prácticas empresariales y productivas, igualmente se critica su contraparte, el consumo irresponsable, aquel que es impulsivo, inmoderado, superfluo y que no mide la consecuencia de sus acciones.  Ante la dificultad de controlar el patrón de consumo de cada persona, se invoca a la sensibilidad de los consumidores para que interioricen los efectos ¨adicionales¨ que acarrea su nivel y tipo de consumo.  Se advierte de vigilar sobre el papel psicológico, y a veces imperceptible, que juega la mercadotecnia en las decisiones de consumo.

Tomando en cuenta que muchos costos han sido ignorados en el proceso de producir y consumir, es entonces recomendable reevaluar la productividad y el modo de enriquecimiento de las naciones.

Cuestionar la capacidad del sistema económico para retroalimentarse y reproducirse una y otra vez sin que se destruya a sí mismo (concepto de sustentabilidad) es una preocupación muy legítima: los recursos son finitos, y la población continúa multiplicándose y aumentando su consumo per cápita.

¿Dónde esta la punta de la hebra para iniciar el cambio? ¿En la mentalidad de los consumidores? ¿Qué tan plausible es que los consumidores disminuyan su nivel y tipo de consumo de manera significativa? ¿Se puede retroceder en el tiempo y prescindir de muchos de los bienes a los que ahora tenemos acceso?

Es ineludible reparar en el hecho de que todos los consumidores vivimos una dualidad desde el punto de vista económico.  Somos consumidores, pero hablando con holgura, todos tenemos un puesto en la cadena productiva, y en este último sentido nuestra motivación es producir más para vender más y generar más ingreso, y esto sólo se logra si los consumidores compran más. 

Así, la mayoría de los habitantes de este planeta tenemos un conflicto de intereses a la hora de sopesar los efectos globales de nuestro consumo vs. nuestro bienestar personal.  Seguramente, mostraremos cierta conciencia y efectuaremos los cambios que nos cuesten relativamente poco, pero aquéllos que implican un gran costo personal, y que son los que probablemente harían una diferencia importante, serán difíciles de realizar sin algún tipo de ‘apoyo o incentivo externo’.

Entre las campañas para disminuir el consumo, es ampliamente promovido actuar de acuerdo al lema de las tres R’s: Reducir, Reutilizar y Reciclar.  De estas, la de mayor apego a nivel personal es Reciclar.  Es relativamente bajo el costo de separar la basura y colocarla o llevarla a contenedores que separan material reciclable.  Reducir y Reutilizar requieren mayor esfuerzo y sacrificio. 

Mucho del consumo actual está en función de búsqueda de comodidad y ahorro de tiempo y esfuerzo, antes que de satisfacer una necesidad imperante.  Así, en algunos casos la cuestión es si estamos dispuestos a renunciar a esas cualidades del consumo, y revertir el proceso en el que empresas y consumidores nos hemos embarcado.

Un ejemplo claro del punto anterior es la compra de un coche para una persona (sin niños, sin impedimentos físicos, etc.), o de uno adicional en el caso de una familia.  Seguramente la adquisición no obedece a la falta de alternativas para transportarse, sino a la búsqueda de mayor comodidad y ahorro en tiempo de traslado; además, la tranquilidad que supone evitar la coordinación del uso del coche con otro miembro de la familia puede ser muy deseada. La ganancia se refleja en una mayor eficiencia personal en el uso del tiempo.

En países donde el transporte público es limitado, mucho se puede hacer para reducir el uso del coche.  Pero no basta con introducir el servicio, se tiene que pensar en alternativas verdaderamente sustitutivas (eficiencia, comodidad, y seguridad) que hagan desistir del uso del automóvil por un medio socialmente más deseable.  De otra manera, se puede llegar a situaciones donde las inversiones se realizan en vano: no se logra captar un número significativo de usuarios para costear la inversión y tampoco disminuyen los viajes en coche.

Así como en el caso del transporte público, otros programas de servicios públicos provistos por los gobiernos juegan un papel muy importante en la modificación de hábitos de los consumidores.  Uno de los consumos más absurdos que se ha propagado por el mundo es la compra de agua en pequeñas botellas.  Las razones que explican este consumo son varias, pero una de ellas sugiere que la gente no confía, y en muchos casos justificadamente, en la potabilidad y calidad del agua que se obtiene del grifo.  Un servicio deficiente (o carencia de servicio) ha llevado al desarrollo de una industria ‘innecesaria’ (al menos en las dimensiones que ha alcanzado) la cual genera miles de millones anualmente.  Ciertamente, sería más eficiente si la mayor parte del agua se distribuyese a través de la red, ya que se consumirían menos recursos para producirla y se contaminaría mucho menos.  Este tipo de sustituciones puede ocurrir a gran escala y llevar a cambios remarcables en el consumo.

En décadas recientes, el sector de artículos desechables se ha desatado.  El uso de utensilios de plástico de carácter desechable cumplen una función: limitar trabajo y ahorrar tiempo.  Ejemplos como este se repiten una y otra vez en nuestro consumo diario (jeringas, pañales, cámaras fotográficas, bolígrafos, etc).  Estamos comprando tiempo y comodidad indirectamente.  Si usted como yo hace esfuerzos por reusar las bolsas de la compra de alimentos, estará de acuerdo que esta práctica implica un cierto nivel de esfuerzo de nuestra parte.  Tenemos que ser diligentes y no olvidar llevar la bolsa con nosostros al salir de casa, es decir, hay un elemento más a introducir en la logística de la vida diaria.

A nivel agregado, una disminución en el consumo tiene consecuencias graves.  La situación económica actual ilustra empíricamente sobre los efectos y reacciones asociadas a una contracción importante del consumo, la cual no ha sido planeada por ningún grupo de consumidores, ambientalistas o administradores públicos.  La crisis se desencadenó en el sector de bienes raíces, trascendió a los mercados financieros, y ha conducido a una recesión económica multisectorial de grandes proporciones.  El desempleo ha aumentado y con ello ha mermado el consumo, repercutiendo en menores niveles de inversiones y producción. 

Un número considerable de familias se han visto afectadas por la drástica disminución de sus ingresos, y resulta muy difícil para los consumidores aceptar cambios a la baja en el poder de compra, aun cuando no se traduzca en un deterioro de su nivel de vida.  Las administraciones de los gobiernos se han vuelto muy impopulares a raíz de la crisis; son ampliamente criticadas por su falta de eficacia para sacar a las economías de la recesión y remontarlas de nuevo por la vía del crecimiento económico, i.e., lograr aumentos en la inversión, la producción, y ultimadamente en el consumo.

Aquí está la paradoja.  La experiencia actual nos señala que cambios bruscos en el consumo no son deseables, ni por el agregado de la población, ni por los gobiernos, ni por las empresas.  Antes que aceptar perder el empleo, un trabajador está dispuesto a que se tale un árbol más, a que se contamine un poco más el aire que respira, y a que se generen unos cuantos kilos más de basura.  El cambio hacia un menor consumo no se puede dar expeditamente cuando los costos económicos son altos y resulta financieramente imposible compensar a los afectados.  La sustitucion de procesos ‘nocivos’ por unos más bondadosos pueden ocurrir más o menos rápido dependiendo de las circunstancias de cada sector, y muy particularmente del ente regulatorio en que operan. Sin embargo, los reclamos mencionados previamente sobre las prácticas productivas impropias deben ser atendidos con prontitud, de otra manera se continuará produciendo y consumiendo a niveles ficticios, es decir, a niveles superiores a los correspondientes a un estado donde se contabiliza los verdaderos costos de producción.

El consumismo es pues una causa y una consecuencia, un mal y una necesidad, una acción que es repudiada por muchos pero representa el motor de la mayoría de las economías.  El punto importante es que para lograr un equilibrio más balanceado, también se requiere un proceso de cambio balanceado.  El desafío es encontrar un punto donde los niveles de consumo no sólo favorezcan un medio de vida sustentable, justo y de calidad sino que también permitan que la creatividad humana, infinita e irrefrenable, se reoriente cada vez más hacia la comprensión integral de las necesidades del hombre y su hábitat.

La desigualdad de Bell

No es el caso ahora cómo, pero para un electrón es posible medir el valor de una variable (por ejemplo, el espín, que puede ser “arriba” o “abajo”) para distintas orientaciones. Así, por ejemplo, se puede observar que, para una orientación de 45º, el espín es “arriba” o que, para una orientación de 0º el espín es “abajo”. Si tenemos 100 electrones, la tabla siguiente nos muestra un ejemplo de cómo podría ser un conjunto de medidas del espín según tres orientaciones posibles. 

90º Arriba                                                            90º Abajo

 Así, el número 10 de la casilla primera diría que se han observado 10 electrones que, para las tres orientaciones de 0º, 45º y 90º, el espín siempre es “arriba” (up). El número 15 de la casilla arriba a la derecha del todo significa que se han observado 15 electrones cuyo espín es “arriba” cuando se mide para una orientación de 0º y “abajo” para las otras dos.

Resulta evidente que el número de electrones (0º arriba, 45º abajo) (14 + 15) más el número de electrones (45º arriba, 90º arriba) (10 + 11) debe ser mayor que el número de electrones (0º arriba, 90º arriba) (10 + 14), puesto que estos últimos incluyen sólo una parte de los primeros y también sólo una de los segundos. O eso parece.

El caso es que, aunque no sepamos qué número de electrones está en cada casilla, la desigualdad tiene que darse. Sin embargo, cuando hacemos el experimento con millones y millones de electrones, la desigualdad no se cumple, y el número de electrones (0º arriba, 45º abajo) más el número de electrones (45º arriba, 90º arriba) es menor que el número de electrones (0º arriba, 90º arriba). Es como si, al medirlos, les cambiáramos las características. Es decir, como si, cada vez que medimos el espín de los electrones para una determinada orientación estuviéramos cambiando los números que se ponen en las casillas o, lo que sería lo mismo, como si estuviéramos cambiando el espín de los electrones.

Esta es la famosa desigualdad de Bell, la que implica que no hay causas ocultas que nos son desconocidas y que son el origen de la indeterminación de las variables en la mecánica cuántica. Lo que dice esta desigualdad es que, a todos los efectos, el espín no está definido (no es que no lo sepamos) cuando no se mide y que, cuando se mide y se le da un valor, la naturaleza da ese valor de acuerdo con unas reglas muy extrañas, siguiendo unas distribuciones de probabilidad para las que no intuimos ninguna posible explicación, sólo que son las que son.

Mis aclaraciones

1. Llevamos varias entradas diciendo que no se pueden observar dos características de una partícula con precisión y ahora resulta que podemos medir el espín en dos orientaciones distintas. ¿Qué engaño es este? La cuestión no es baladí, y es la que impidió dar respuesta clara a las objeciones de Einstein y otros sobre las variables ocultas. La clave está en el “entrelazamiento” de partículas. Podemos tener un sistema de dos electrones y podemos saber que su espín para una determinada orientación es nulo. Como el espín es una medida de momento angular (giro, para entendernos) y como el momento angular debe conservarse, si un electrón tiene espín 1/2, el otro debe tener espín -1/2. De esta manera podemos examinar el espín en una orientación directamente en un electrón y el espín en otra orientación en el electrón entrelazado.

2. El entrelazamiento añade una nueva dimensión en las cosas extrañas de la mecánica cuántica. Si un electrón no tiene definido el espín hasta que se mide ¿cómo sabe su “gemelo” que le toca definirse de la manera congruente con la definición que dio el otro?

3. Obviamente, los electrones no saben nada. Lo único que ocurre es que el Universo sólo existe satisfaciendo ciertas reglas, como esta de conservar el momento angular. A nosotros nos parece que esto debería estar pre-definido en cualquier Universo realmente existente. Pero parece que el Universo no está para satisfacer nuestros deseos y que el futuro no está determinado hasta que no se producen interacciones, con las que la realidad va tomando su sitio pieza a pieza. El Universo, en suma, no es tan real como quisiéramos, pero sí es tan real como hace falta para que sea.

El principio de indeterminación de Heisenberg

Hoy toca hablar del principio de indeterminación de Heisenberg, pero antes es necesario conocer la constante de Planck. Max Planck estableció la ley que lleva su nombre y que dice que la energía de un fotón es proporcional a su frecuencia (la frecuencia es el número de veces que la onda oscila en una unidad de tiempo). Esta proporción es la constante de Plannk, que se denomina h y que es un número muy pequeño. Para hacernos una idea de lo pequeño que es, pensemos que la energía de un fotón es muy pequeña y que el fotón oscila mucho. ¿Cuánto? Un fotón de energía normalita, por ejemplo el de la luz amarilla, tiene una longitud de onda (distancia entre dos cretas de la onda) de casi 0,0000006 metros. Moviéndose la luz a 300.000 km/s, esto quiere decir que pasan 300.000.000/0,0000006 = 3.000.000.000.000.000/6 = 500.000.000.000.000 crestas cada segundo, y esa es la frecuencia de la onda amarilla: 500 millones de millones de oscilaciones por segundo. Para traducir eso a la energía del fotón (muy pequeña) hay que multiplicar ese número por uno muy, muy pequeño. Para los curiosos diremos que h es igual 6,626 dividido entre diez mil millones de millones de millones de millones de millones si queremos expresar la energía del fotón en julios por segundo. Una caloría de las de comer (en realidad son kilocalorías) tiene 4.200 julios.

Vale, ya sabemos que la constante de Planck es un número muy pequeño, ¿qué tiene de extraño? Nada especialmente sino fuera porque impone un límite a lo que podemos medir. Pero no porque no podamos nosotros, sino porque la naturaleza no ofrece medidas con tanta precisión. Veamos cómo.

En la parte 5 de esta historia más extraña jamás contada vimos cómo no podíamos tener a la vez la posición del electrón y la interferencia de la onda en pantalla. Si sabíamos por cuál ranura pasaba el electrón, nos quedábamos sin interferencia. Si queríamos la interferencia, nos quedábamos sin saber por cuál ranura pasaba. De hecho, podíamos haber intentado saber la ranura por la que pasaba el electrón con algún margen de error. Un experimento así diseñado, con margen de error, tendrá como consecuencia encontrar una cierta interferencia, más cercana a la “verdadera” cuanto mayor margen de error nos permitamos para saber el camino del electrón. El margen de error en nuestra información sobre la ranura por la que pasa el electrón se puede medir como la varianza de la información (de la serie de números que nos da la observación con error). También las interferencias observada tendrán su varianza. Pues bien, resulta que el producto de estas varianzas, expresadas en las unidades adecuadas, no puede ser inferior a la constante de Planck (dividida por 2 pi).

Lo anterior es cierto para cualquier par de valores que uno quiera saber acerca de una partícula elemental. El ejemplo más citado es el de conocer la posición y la velocidad. Si queremos saber con precisión la posición, no sabremos nada de la velocidad y viceversa. Pero si nos permitimos un margen de error en la posición, tendremos la velocidad también con un margen de error. Otros valores interesantes son el momento angular respecto a cada uno de los ejes de rotación o la energía y el tiempo.

Se suele decir, como parte de la lección del principio de incertidumbre, que si queremos ver un electrón, por ejemplo, hay que hacerlo interactuar con un fotón, y que la hacer eso, el fotón alterará su posición y velocidad. Pero este ejemplo no da la verdadera naturaleza del principio de incertidumbre. No es que no podamos saber ambos valores, lo que ocurre es que la partícula NO TIENE DEFINIDOS ESOS VALORES antes de medirlos y, al medirlos, tendrá definido uno u otro, según cuál queramos medir.

Ahí queda eso.

Esto es lo que le hizo decir a Einstein aquello de que “dios no juega a los dados”, a lo que le respondieron, por partida doble: “Einstein, deja de decirle a dios lo que tiene que hacer” y “dios no solo juega a los dados, sino que los arroja donde no podemos verlos”. Einstein no se dio por vencido y sostuvo que la mecánica cuántica debía estar incompleta y que, cuando tuviéramos conocimiento de las variables necesarias para completarla, desaparecerían estas paradojas.

La mayoría de los científicos de la época disentían de la opinión de Einstein y algunos más, pero no fue hasta más tarde (Einstein ya fallecido) que Bell propuso la manera de demostrar de una vez por todas si podía haber o no variables ocultas. Pero esto nos lleva a una siguiente entrada todavía más extraña.